martes, 5 de mayo de 2015

CAÍDA LIBRE

FÍSICA 
CAÍDA LIBRE
En física, se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio. Esta definición formal excluye a todas las caídas reales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, así como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido; sin embargo, es frecuente también referirse coloquialmente a éstas como caídas libres, aunque los efectos de la viscosidaddel medio no sean por lo general despreciables.
El concepto es aplicable también a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la acción desaceleradora de la gravedad, como undisparo vertical; o a cualquier objeto (satélites naturales o artificiales, planetas, etc.) en órbita alrededor de un cuerpo celeste. Otros sucesos referidos también como caída libre lo constituyen las trayectorias geodésicas en el espacio-tiempo descritas en la teoría de la relatividad general.
Ejemplos de caída libre deportiva los encontramos en actividades basadas en dejarse caer una persona a través de la atmósfera sin sustentaciónalar ni de paracaídas durante un cierto trayecto.

Caída libre ideal


Animación de la caída libre.
En la caída libre ideal, se desprecia la resistencia aerodinámica que presenta el aire al movimiento del cuerpo, analizando lo que pasaría en elvacío. En esas condiciones, la aceleración que adquiriría el cuerpo sería debida exclusivamente a la gravedad, siendo independiente de su masa; por ejemplo, si dejáramos caer una bala de cañón y una pluma en el vacío, ambos adquirirían la misma aceleración, g\,, que es la aceleración de la gravedad

Ecuación del movimiento

De acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza \mathbf{F} que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de su masa m\, por la aceleración que adquiere. En caída libre sólo intervienen el peso \mathbf{P} (vertical, hacia abajo) y el rozamiento aerodinámico \mathbf{f}(v) en la misma dirección, y sentido opuesto a la velocidad. Dentro de un campo gravitatorio aproximadamente constante, la ecuación del movimiento de caída libre es:
\mathbf{F} = \mathbf{P}+\mathbf{f} = -mg {\mathbf{j}} - f\frac{\mathbf{v}}{v} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt}
La aceleración de la gravedad g\, lleva signo negativo porque se toma el eje vertical como positivo hacia arriba.

Trayectoria en caída libre

Caída libre totalmente vertical

El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleracióng) (aproximadamente porque la velocidad aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayoría de los casos la variación es despreciable). La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:
(1) -mg + f = ma_y \,
donde:
a_y, v_y\;, son la aceleración y la velocidad verticales.
f\;, es la fuerza de rozamiento fluidodinámico (que aumenta con la velocidad).
  • Si, en primera aproximación, se desprecia la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan velocidades moderadas, la solución de la ecuación diferencial (1) para las velocidades y la altura vienen dada por:
\begin{matrix} v_y(t)= v_0 - gt \\ y(t) = h_0 + v_0t -\frac{1}{2}gt^2 \end{matrix}
donde v0 es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v0 = 0 y h0 es la altura inicial de caída.
  • Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracaídas) es necesario tener en cuenta la resistencia fluidodinámica que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinámico kw:
(2) -mg - k_wv_y = ma_y \,
En este caso la variación con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solución de la ecuación diferencial (2):
\begin{cases} v_y = v_0e^{-k_wt/m} + \cfrac{mg}{k_w}(e^{-k_wt/m}-1) \\ y = h_0 - \cfrac{mgt}{k_w}+m\left(\cfrac{mg+k_wv_0}{k_w^2}\right)(e^{-k_wt/m}-1) \end{cases}
Nótese que en este caso existe una velocidad límite dada por el rozamiento aerodinámico y la masa del cuerpo que cae:
v_\infty = \lim_{t\to \infty} v_y(t) = -\frac{mg}{k_w}
  • Un análisis más cuidadoso de la fricción de un fluido revelaría que a grandes velocidades el flujo alrededor de un objeto no puede considerarse laminar, sino turbulento y se producen remolinos alrededor del objeto que cae de tal manera que la fuerza de fricción se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad:
(3)ma_y = m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg - \epsilon\frac{C_d}{2}\rho A_tv_y^2
Donde:
C_d\;, es el coeficiente aerodinámico de resistencia al avance, que sólo depende de la forma del cuerpo.
A_t\;, es el área transversal a la dirección del movimiento.
\rho\;, es la densidad del fluido.
\epsilon = \mathrm{sgn}(v_y)\;, es el signo de la velocidad.
La velocidad límite puede calcularse fácilmente poniendo igual a cero la aceleración en la ecuación (3):
v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{C_d\rho A_t}}
La solución analítica de la ecuación diferencial (3) depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento y el peso por lo que la solución analítica es diferente para un cuerpo que sube o para uno que cae. La solución de velocidades para ambos casos es:
\begin{cases} v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tan\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} +\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & \epsilon > 0\\ v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tanh\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} -\mbox{arctanh}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & \epsilon \le 0 \end{cases}
Donde: \alpha = C_d\rho A_t/2m\;.
Si se integran las ecuaciones anteriores para el caso de caída libre desde una altura h_0 y velocidad inicial nula y para el caso de lanzamiento vertical desde una altura nula con una velocidad inicial v_0 se obtienen los siguientes resultados para la altura del cuerpo:
Caída libre (v_y(0)=0 y y(0)=h_0):
y(t)=h_0-\cfrac{1}{{\alpha}}\ln\left[\cosh\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}}\right) \right]
El tiempo transcurrido en la caída desde la altura y=h_0 hasta la altura y=0 puede obtenerse al reordenar la ecuación anterior:
t(0)-t(h_0)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}{g}}}\mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)
Lanzamiento vertical (v_0=v_0 y y(0)=0):
y(t)=\cfrac{1}{{\alpha}}\ln\left[\cfrac{\cos\left[-t\sqrt{{\alpha}{g}}+\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)\right]}{\cos\left[\mbox{arctan}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)\right]} \right]
Si la altura h_0 es aquella en que la velocidad vertical se hace cero, entonces el tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta el instante en que se alcanza la altura h_0 puede calcularse como:
t(h_0)-t(0)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}g}}\mbox{arctan}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}g}}\mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)
Se puede demostrar que el tiempo que tarda un cuerpo en caer desde una altura h_0 hasta el suelo a través del aire es mayor que el que tarda el mismo cuerpo en alcanzar la alura máxima de h_0 si es lanzado desde el suelo. Para ello basta con probar la desigualdad siguiente:
\mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)>\mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)
\forall \alpha, h_0 > 0
sabiendo que \mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)\in\left[1,+\infty\right) y que \mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)\in\left[0,\cfrac{\pi}{2}\right]
Intuitivamente la diferencia de tiempos es clara, en el tiro hacia arriba la velocidad inicial es mayor por lo que la fuerza de rozamiento promedio a lo largo de la trayectoria también es mayor que la que se alcanza en tiro hacia abajo.

Caída libre parabólica y casi-parabólica

Cuando un cuerpo cae en caída libre pero no parte del reposo porque tiene una velocidad no nula, entonces la trayectoria de caída no es una recta sino una curva aproximadamente parabólica. La ecuación de la trayectoria en coordenadas cartesianas viene dada por:

\frac{dy}{dx} = \frac{v_y}{v_x} \qquad \qquad \begin{cases} v_y(0) = 0\\ v_x(0) = V_x \end{cases} \qquad \qquad \begin{cases} y(0) = h_0\\ x(0) = 0 \end{cases}donde x es la coordenada horizontal (eje de abcisas) e y la coordenada vertical (eje de ordenadas).
Para un cuerpo en caída libre sin rozamiento, la trayectoria es exactamente una parábola dada por:La expresión de la velocidad vertical debe reescribirse en función de la coordenada x teniendo en cuenta que t = x/vx. Pueden distinguirse los siguientes casos:
y(x) = h_0 -\frac{gx^2}{2V_x^2}
  • Cuando se incluye el rozamiento aerodinámico, la trayectoria no es exactamente una parábola. Por ejemplo para una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad como en la (2) la trayectoria resulta ser:
y(x) = h_0 - \delta \left[\frac{x}{\beta\delta}-\ln \left(1-\frac{x}{\beta\delta} \right) \right]
donde:
\delta = gm^2/k_w^2
\beta = V_xk_w/mg
Para una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, la integración de las ecuaciones del movimiento es más compleja, presuponiendo fuerzas de rozamiento independientes en dirección horizontal y vertical proporcionales al cuadrado del valor de la componente:
\begin{cases} \cfrac{dv_x}{dt} = -C_wv_x^2 \\ \cfrac{dv_y}{dt} = +C_wv_y^2 -g \end{cases}
La trayectoria viene dada por:
y(x) = h_0 - \delta \ln \left[\cosh \left( \frac{e^{x/\delta}-1}{\beta}\right) \right]
donde:
\delta = 1/C_w
\beta = \sqrt{g/(C_wV_x^2)}
Las figuras adjuntas muestran la forma de las trayectorias para cinco valores diferentes del parámetro β para una misma altura de caída (medida en unidades de longitud δ).

Caída libre desde grandes alturas


La caída libre desde grandes alturas en un campo gravitatorio aproximadamente esférico, como es el caso del campo gravitatorio terrestre, requiere correcciones importantes ya que en ese caso ni la magnitud ni la dirección de la fuerza gravitatoria son constantes. Concretamente para un campo gravitatorio newtoniano con simetría esférica, cuando podemos ignorar el rozamiento con la atmósfera, la trayectoria es un arco elipse.

Mayor caída libre a la que se ha sobrevivido



El 26 de enero de 1972, Vesna Vulović, azafata de las Aerolíneas JAT, sobrevivió a una caída libre de 10.000 m cuando iba a bordo del vuelo 367.3 Una explosión en el avión dio lugar a que éste cayera sobre Srbská Kamenice, en la entonces Checoslovaquia (ahora República Checa). La azafata sufrió roturas en el cráneo y en tres vértebras y estuvo en coma durante 27 días. Una vez recuperada, comentó que, según el hombre que la encontró, ella se encontraba en la parte central del avión, con uno de sus compañeros encima. Una parte de su cuerpo estaba dentro del fuselaje, pero la cabeza estaba por fuera; un carrito de comidas clavado en su columna la mantenía dentro del avión. El hombre que la encontró, un médico alemán que la trató in situ, aseguró que tuvo mucha suerte. Años más tarde esta caída fue desmentida, según aseguró el corresponsal de la radiotelevisión pública alemana ARD en Praga, Peter Hornung-Andersen, "Lo más probable es que el avión fue derribado por la fuerza aérea checoslovaca debido a un error", afirma Hornung-Andersen, quien subraya que "para ocultar el incidente" los servicios secretos checoslovacos "se inventaron la historia de la caída de la azafata" con el impresionante récord de altura.4
En la segunda Guerra Mundial, hubo varios informes sobre militares de aviación que sobrevivieron a grandes caídas. Nick Alkemade, Alan Magee, y Ivan Chisov cayeron como mínimo 5500 m.
Publicado por en

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)